《古今数学思想》读后感

阅读M·克莱因的《古今数学思想》一书后，使我了解了数学的乐趣所在。

《古今数学思想》论述了从古代一直到20世纪头几十年，这数千年中数学大部分分支的历史发展，内容有美索不达米亚的数学、埃及的数学、古典希腊数学的产生等，阐述了一些重要的数学思想的来源、数学之间与数学和其他自然科学，尤其是力学、物理学的关系。

恐怕没有人比M.克莱因更熟悉数学的来龙去脉了，作者把西方数学史写得脉络清晰，也非常吸引人。

读了古今数学思想后，颇有感触：看来读任何学科的东西都要读它的发展史啊 。

我们往往太过于吹捧数学的理性精神了。但实际上这门学科的发展从来都是和经验密不可分，否则负数、无理数、无穷大、无穷小也不会几千年都不被人接受。有天文才有三角和球面几何，有绘画才有射影几何。第11章文艺复兴的最后一节，“经验主义的兴起”，观点很精彩。正是有了经验的材料，数学才得以大跨步向前发展。

当然，这也是符合我的观点的。我一向都认为，根本不存在什么脱离经验的纯理性。

但也不可否定理性对经验的指导作用。

没有微积分就没有现代数学，众所周知，从希腊世界到中世纪，一直崇尚几何蔑视代数的情形下，是很难产生变化的思想的，必须要有从几何到代数的适当转移。经过阿拉伯世界的熏陶，西方人终于开始解放思想。13章，“十六七世纪的代数”，牛顿、莱布尼兹、费马等开始登场，代数终于从几何中脱离出来了。

最后一章射影几何，在经验材料的基础上，在人们对现实应用的需求上，数学（几何学）终于开始走下神坛，新分支新理论终于开始出现。从此，数学的视野不断放宽。

其实大学的射影几何也不过是Desargues一人的成果。　　原来帕斯卡最重要的贡献是射影几何方面。

最后一节太精彩了。连续变化的思想就此开始。微积分的思想基础渐渐渗透、增压，待到第二册中引发爆炸。

就整个第一册来讲，有这么样一种感觉：作者太迷恋希腊世界了，然后对罗马世界嗤之以鼻。这也许应该是作者的一种偏见吧。

《几何原本》读后感

我曾无数次翻读《几何原本》（以下简称《原本》），细细品味欧几里得是如何通过5公设和公理构建起整座几何大厦的，时常沉醉其中，手不释卷，甚至废寝忘食。但这么说来，已经多少有些文辞修饰，仅就数学而言，都不需要这些，而只需将一件事情说清楚，并加以严格证明也就足够了。

欧几里得的《原本》正是这样的一本好书，根据希思的英译版本，里面几乎没有一句话是多余的，由命题到证明均一气呵成，而且环环相扣构成一座十分宏伟的几何大厦。众所周知，自《原本》诞生以来，就一直被公认为数学公理化演绎的典范，并且至今魅力不减，大概就是因为它仅以显浅又易懂的5公设和公理这出发推导出命题，而后在推导出的命题的基础之上再推导出新的命题，一切都显得很有步骤，且推导出来的结果也使人易于接受。

在《原本》里，欧几里得基本只限于尺规作图，但并没有使用限定的量，所以有着无限的延展性，当量为无限小时甚至无法直观，当量为无限大时甚至无法度量。因此，从严格意义上说，欧氏几何大厦实为逻辑结构，早已超越了现实而落入人的思维之中，却又并非无中生有，至少当中的每一道命题都抽象地反映着现实，近乎于真实。

但欧几里得的《原本》不止有公设和公理，还有若干定义，准确来说是外加了共131个定义，所以欧氏几何大厦的逻辑结构是有条件的，只能在合符条件的前提下进行延展。

如果我们将欧氏几何大厦的逻辑结构延伸到现实的物理世界，则就可以类似的方式来研究物理世界，从而探究肉眼看不见的部分，而归于思维的范畴，实为人类探索物理世界的“高级阶段”，即既超越了现实，又由物理世界所决定，如果没有现实世界作为抽象基础，几何上的逻辑结构是无法延展的。

故我认为，读欧几里得的《原本》，不在于普遍认为初中生就已经基本掌握的知识，而在于当中的逻辑结构及思维上的延伸，因为人类对物理世界的认知是极其有限的，只有进入思维的层面才有机会使物理世界“展现无遗”。

综观数学史，几何与代数曾经是“分家”的，所谓“花开两朵各表一枝”，但在笛卡儿与费马双双开创的解析几何下，早已将几何与代数融为一炉。由于人类对客观世界的认知是基于形体的，所以几何学可以代表整个数学，反过来说几何可以反映客观现实世界。

所以，如果说“数学是一切科学的基础”，那么几何就是科学基础的基础。一如颜宁在一期《开讲啦》节目中所言：“......大家（不妨）想一想，你触目所见，都是结构。”

我甚至认为，颜宁口中的结构，不是指肉眼可见的结构，而是指思维层面的逻辑结构；颜宁口中的触目所见，是指思维所见而非眼见。

坦率地说，我曾无数次翻读欧几里得的《原本》，但每读一次都有不同的新感受，越读越觉得欧几里得不是一个简单的人，《原本》似乎有着谜一般的无穷魅力。最后，如果非要用一句话来作为本文的结尾，小编会说“《原本》是我读过的所有数学书中最值得读的一本，并且没有之一，很值得我们去深入发掘。”

《数学传奇》读后感

这本《数学传奇》是我偶然看到的一本书，蔡天新教授用渊博的学识、诗一般的语言为我们讲述了历史上最伟大的数学家的事迹。这些伟大的数学家有毕达哥拉斯、阿基米德、欧玛尔·海亚姆、笛卡尔、帕斯卡尔、莱布尼茨、庞加莱、冯·诺依曼、秦九韶、费尔马、牛顿、欧拉、高斯、希尔伯特、拉曼纽扬、华罗庚、陈省身、爱多士。

蔡天新教授告诉我们：财富非富豪所创，数学王国却由数学家所缔造。书中前三讲是古典部分，讲述了毕达哥拉斯、欧玛尔•海亚姆和秦九韶的传奇故事，趁机介绍了希腊、阿拉伯和中国的数学；中间三讲分别关于数学强国——法国、英国和德国的数学及其代表人物笛卡尔、庞加莱、牛顿、莱布尼兹、高斯、希尔伯特；最后四讲是关于近代和现当代的数学，介绍三位传奇数学家欧拉、拉曼纽扬和冯诺伊曼，兼谈俄罗斯、印度、东欧和美国数学发展的情况。

毕达哥拉斯是古希腊大数学家、哲学家，精通音乐，漫游地中海，倡导四艺，黄金分割律成为文艺复兴的美学典范。通过讲述他的传奇，折射出希腊数学和希腊文明的智慧之光。

阿基米德是伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿、欧拉并列为世界四大殿堂级数学家。  阿基米德曾说过：“给我一个支点，我就能撬起整个地球。”

欧玛尔·海亚姆是11世纪的波斯数学家、诗人，通过讲述他的三个世界——身体、智力和精神的世界，反映出古代波斯和阿拉伯的数学和风尚，他们为保存西方文明火种作出了重要贡献。

秦九韶是最具国际影响力的古代中国数学家，他发明的中国剩余定理是中外每一本基础数论教程不可或缺的且应用甚广。因为某种原因，他的代表作《数书九章》传抄了600多年后才正式付印。

帕斯卡的数学造诣很深。除对概率论等方面有卓越贡献外，最突出的是著名的帕斯卡定理－－他在《关于圆锥曲线的论文》中提出的。帕斯卡定理是射影几何的一个重要定理，即“圆锥曲线内接六边形其三对边的交点共线”。在代数研究中，他发表过多篇关于算术级数及二项式系数的论文，发现了二项式展开式的系数规律，即著名的“帕斯卡三角形”。（在我国称 “杨辉三角形”），他与费马共同建立了概率论和组合论的基础，并得出了关于概率论问题的一系列解法。他研究了摆线问题，得出了不同曲线面积和重心的一般求法。他计算了三角函数和正切的积分，最早引入了椭圆积分。

莱布尼茨是德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一位举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人。他的研究成果还遍及力学、逻辑学、化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、气体学、航海学、地质学、语言学、法学、哲学、历史、外交等等，“世界上没有两片完全相同的树叶”就是出自他之口，他还是最早研究中国文化和中国哲学的德国人，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。然而，由于他创建了微积分，并精心设计了非常巧妙简洁的微积分符号，从而使他以伟大数学家的称号闻名于世。

庞加莱对现代数学最重要的影响是创立组合拓扑学。1892年他发表勒第一篇论文，1895～1904年，他在六篇论文中建立了组合拓扑学。他还引进贝蒂数、挠系数和基本群等重要概念，创造流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关连系数矩阵等工具，借助它们推广欧拉多面体定理成为欧拉—庞加莱公式，并证明流形的同调对偶定理。庞加莱的思想预示了德·拉姆定理和霍奇理论。他还提出庞加莱猜想，在“庞加莱的最后定理”中，他把限制性三体问题的周期解的存在问题，归结为满足某种条件的平面连续变换不动点的存在问题。庞加莱在数论和代数学方面的工作不多，但很有影响。他的《有理数域上的代数几何学》一书开创了丢番图方程的有理解的研究。他定义了曲线的秩数，成为丢番图几何的重要研究对象。他在代数学中引进群代数并证明其分解定理。第一次引进代数中的左理想和右理想的概念。证明了李代数第三基本定理及坎贝尔—豪斯多夫公式。还引进李代数的包络代数，并对其基加以描述，证明了庞加莱—伯克霍夫—维特定理。

法兰西民族以浪漫和艺术著称，同时数学大师也层出不穷，堪称优雅和勤勉。20世纪以来，少有法国人滞留海外，布尔巴基学派不署名字，迄今已有11位法国人获菲尔兹奖。

欧拉是历史上最多产的数学家，也是18世纪最伟大的数学家。来自山地小国——瑞士，后来在彼得堡和柏林度过整个学术生涯，与多位女王交往，启迪了俄罗斯的数学和科学发展。

美籍匈牙利数学家冯·诺依曼出生于匈牙利银行家家庭，从小接受犹太式教育。18岁他开始在德国和瑞士学化学工程，同时在布达佩斯攻读数学博士，后者是他钟爱的专业，并因此被请去普林斯顿，成为高研院首批聘请的最年轻的教授。美籍匈牙利数学家冯·诺依曼提出计算机基本结构和工作方式的设想，为计算机的诞生和发展提供了理论基础。时至今日，尽管计算机软硬件技术飞速发展，但计算机本身的体系结构并没有明显的突破，当今的计算机仍属于冯·诺依曼架构。

《怎样解题：数学思维的新方法》读后感

“好的思路来源于过去的经验和知识”–波利亚

个人感觉这句话是这本书的假设前提，想想看，一个只有小学水平数学能力，能解决大学中的数学问题吗？这个靠什么技巧都是弥补不了的。但是有人为什么面对的是小学水平的难题，或者稍微更难的问题时，他已经具备了相应的知识，为什么还是解决不了呢？这本书就是帮助你解决这样的问题的，通过提问的方式来引导自己的思维。

当然个人还是要在平时，注意积累经验和知识，这个是核心。

我们要具备这样的心态，面对问题，不能守株待兔，等待灵感自己到来，而是主动出击，把想法逼出来，记住，最糟糕的情况不是有错误的想法，而是没有任何想法。

面对问题，是有一定流程的。接下来就是说说书中的流程。

1.理解题目

那问题来了，怎么才算理解题目?

那就是拆分，面对复杂的事物，拆分它是很好的行为，作者是把它拆分 未知量，已知数据，条件(在编程中理解为约束条件我觉得更加容易理解)。记住，一定要用语言描述出这些因素，不能光是感觉，所以说，有时候，你光是把问题描述出来，就已经解决问题了，不过不是每次都这么幸运。

说说一些比较无关的话，大脑是不擅长记下所有的事情的，尤其是细节，它的运行方式是记下重点，然后由重点想到其他重点，像是网状结构，一个点联想的另一个点。 就像眼睛所看的，眼睛看到的不是所有的景象，其实是有一部分是大脑通过想象来补充的。所以刚开始摄取信息的时候，要有意思的舍弃某些无关的信息，抓住重点。但那些又是重点呢？上面这些因素是最有可能是问题的要点，当然也许有其他因素也要考虑，但在考虑上面的因素再考虑其他因素比较合适。

2.找到已知数据与未知量之间的关系?

在这步骤中，是这本书中技巧最多，也是很核心的一步。

是否知道以前有一道和它类似的题目？ 比如有相似的条件或者是未知量。

如果有一道和它紧密相关的题目，也许你就可以解决了。

没有的话，就要考虑变换题目了。

普通化，特殊化，使用类比，放弃一部分条件，分解和重组，倒着干等技巧。

如果你运气不好，如果都没成功，那你就瞎试吧，说不定运气好，碰巧让你发现解决的办法了，这种情况我就碰到很多次，不过这终究是无奈之举，最后再用。

这些我就不具体讲了，关键是通过变化条件，未知量，数据这三个因素来达到变化题目激发思考的目的。

3.执行方案

这个在数学问题上是需要验证的，只需要跑一跑就知道了，但是要注意的是这么做会不会存在漏洞，或者是影响了其他功能，这个在编程中比较关键。

4 回顾

每一次解决问题，都是一次微小的成长。不要解决问题就算了，可以重新回顾一下解决问题的思路，下一次碰到了，如何才可以更快的解决。如上述开头所说，这些技巧是很依赖经验和知识的。你想在所解决的将成为将来的垫脚石。