让人“纠结”的数学之美

             ——从一次公开课的经历谈起

太仓市陆渡中学 江 洲

摘要：数学欣赏，常常被我们的中学数学课堂所忽视，甚至被遗忘。在数学教学中，应该从数学欣赏的角度出发,对数学概念进行教学，提升学生对数学概念本质的理解。这也是数学欣赏正真的价值所在。

关键词：纠结 欣赏 实用之美 奇特之美 奥妙之美 内在之美

笔者曾开设过一节市级公开课《平面直角坐标系》，在经历了备课阶段不断的“纠结”之后，让我真正体会到：原来学生一直认为的枯燥、乏味甚至有些冰冷的数学，也有别样的美，值得我们去欣赏。正如一位名人所说：“生活中不是缺少美，而是缺少发现美的眼睛”。下面笔者就从备课环节的几处“纠结”，结合课例，来谈谈那些值得我们欣赏的数学之美。

纠结一  情境引入如何选择？

任何一个经典的故事总有一个令人难忘的开端，课堂同样如此。当时有两个方案可供选择：

方案一：1998年，徐玉超老人在一个砖厂挖土时发现了一块一尺左右的石碑，墓志上有铭文：“（鲁潜）墓在高决桥陌西行一千四百步，南下去陌一百七十步，故魏武帝陵西北角西行四十三步，北回至墓明堂二百五十步。”，没想到他挖出的那块石碑，为发现曹操墓提供重要的具体方位。请问曹操墓是如何定位的？

方案二：请同学们回忆一下数轴的知识：画出数轴，并在数轴上标出表示-2的点A，和表示3的点B。并思考，数轴外的点该怎么表示？

在引入方案的选择上，当时就笔者就出现了纠结。虽然最终选择了第二个方案。但笔者发现其实两个方案都有可取之处，都有我们值得欣赏地方。

欣赏点一：源于定位——数学的实用之美

数学来源于生活。方案一讲到的是确定位置，这是人们出行思考起点和终点的前提条件，自古有之。以一个饱受争议的曹操高陵的定位为背景，用坐标定位的方法来解决这一千古之谜，足见数学与生活实践息息相关。以“源于定位”作为引入，更贴近生活，除了易于理解之外，还可以让学生体会到数学是我们身边很好的工具，能为我们解决很多难题，数学的价值就是为人类服务而体现的。

欣赏点二：认知冲突——数学的奇特之美

方案二是在让学生正确建立起一维的点与数的关系之后，用一句“数轴上的点能用数来表示，那数轴外的点该怎么表示呢？”让学生产生思维的碰撞，将一维导向二维，顺理成章地引入平面直角坐标系。让学生从已有的知识经验出发，通过实践操作进一步理解数轴上的点与实数一一对应的关系。

当个人已有的知识和经验与当前面临的情境之间产生了矛盾或差别，这种认知冲突会让学生产生新奇和惊愕，从而引起学生的关注和探究，能够深入到数学概念的本质，让学生感受到原来数学是这么的奇特。这也是笔者最终选择方案二的原因所在。

纠结二  数学课堂能“讲故事”吗？

在原本的备课中里并没有关于笛卡尔发明直角坐标系的数学史介绍。可以说在数学课堂上极难看到老师会“讲故事”。在忙于例题讲解和解题训练时候，数学老师往往都会觉得这是浪费时间。之前笔者也有一些这样的“顽固思想”，但是一番纠结之后，我还是用多媒体展示了笛卡尔的故事。并且对故事做了一些修改：一天生病的笛卡尔躺在床上，眼睛紧紧盯着墙角左右移动的蜘蛛，若有所思……然后我再加以解说：躺在床上的笛卡尔一直在思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程又比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？这只左右移动的蜘蛛给了他灵感：以墙角为轴，用两个数表示蜘蛛的位置，于是就发明了平面直角坐标系。

出乎笔者的预料，在后来的课堂上，学生们对这个数学故事很感兴趣。可见这不仅仅是一个故事，更蕴含了丰富的数学和生活道理：从蜘蛛的定位联想到坐标系的发明也是源于定位，从笛卡尔发明坐标系可见他是个勤于思考、善于观察的人。

欣赏点三：史海拾贝——数学的奥妙之美

数学的奥妙在于数学史的内涵深远，寻求数学进步的轨迹，能够激发学生对于数学创新的思考。在课堂教学中渗透数学史，正是为学生提供了领会数学思想的台阶。让学生体会到数学原来如此“妙不可言”。

笛卡尔建立直角坐标系，把算数运算和几何图形对应起来，这是一个大胆的设想，一种气势磅礴的科学想象。巧合的是在之前的情境引入环节，有一个学生是这样回答的：“我做了一条垂直于数轴的直线，然后在上面标上刻度，就像画折线统计图一样，先在数轴上找到一个对应的数字，然后在竖线上再找到一个对应的数字，这样数轴外的点就可以表示了”。于是我在讲完数学故事的时候就说到：“其实王孜琳同学的想法和迪卡尔已经很接近了。只要我们平时在生活中也像笛卡尔那样勤于思考、善于观察。 如果你们也能早生个几百年的话，说不定就不叫迪卡尔坐标系了，而是叫“王孜琳”坐标系。”相信这个玩笑似的鼓励，无论对于这个同学自己还是其他学生，无形中作用是巨大的。

纠结三  数学课堂能“做游戏”吗？

原本教案的练习环节设计比较传统，有些单一和乏味。于是设想是否可以用游戏的形式呈现，可是又担心课堂在热闹之余，无法直击问题的本质，缺乏知识的生成。再次陷入纠结之后，最终得到了以下的方案。

    问题：在一张网格纸上，我把我们班同学的每一个座位看成格点。现在老师以焦克影同学为原点，建立直角坐标系，这样每个同学都有了自己的坐标。

①把两个坐标都是正数的同学找出来。

②把两个坐标都相同的同学找出来。

③把第一个坐标为“0”的同学找出来。

④把坐标为（1,2）和（1，-2）的同学找出来。

……

    欣赏点四：内涵挖掘——数学的内在之美     

    我们可以发现“把两个坐标都是正数的同学找出来”都在第一象限；“把两个坐标都相同的同学找出来”正好是直线y=x；“把坐标为（1,2）和（1，-2）的同学找出来”正好关于X轴对称……这时点已经和图形联系起来，可以表示一个区域、一条线。让学生“玩坐标”，用坐标表示“数学对象”，才是坐标系的数学价值所在。

    在数学教学中适当地进行操作实践和游戏竞赛是极有价值的，体现了寓教于乐的效果。在本环节的设计中，乐之余更多的是教的内涵，不仅让学生深刻体会坐标系的原点、轴、象限、对称等重要概念。更体现了坐标“源于定位”，“高于定位”的作用。充分体现了数学的内在美。数学的内在美已经超越了形式美的范畴，通过揭示数学问题背后的数学本质，让学生被数学蕴藏的魅力所震撼。

课后对于数学之美的反思

一、数学之美与教学实施

数学美的欣赏渗透于课堂教学，方法和渠道很多，除了数学直观美的挖掘之外，还可以通过展现知识的发生发展过程，通过数学历史足迹的追寻，触摸到数学知识的来龙去脉，使学生逐步形成正确的数学观；通过让数学回归生活，让学生在生活的各个领域体验到数学的价值；通过构造意境，沟通数学思考背后的人文情境，让学生感受到数学处处引人入胜；通过问题设计，揭示数学知识背后的理性精神；通过梳理思想，让学生领略抽象数学模型的智慧结晶……

二、数学之美与教师自身

法国画家说过：“艺术分两类：一类是小写的艺术，能够悦人耳目，另一类是大写的艺术，能够动人心魄。”通过类比可以想到，数学也有这样的两类“美”：直观的数学美和动人心魄的数学美。我们所热衷的数学美，往往局限于对称美、统一美、简洁美和奇异美等。但是如何欣赏数学更深层次的美，却没有很好的研究过。

    我们在日常的数学教学中，让学生做的最多的是“做题目”，而自己做的最多的便是“讲题目”。一堆堆“冰冷”的数学概念和问题，就直接扔给了学生。久而久之，使得更多的学生无法喜欢数学，渐渐地厌恶数学，甚至最后逃离数学。这并不是我们想看到的，但关键还是在于教师自身。很多时候数学上一些美的东西，虽然就在身边，但没有留意和挖掘，所以也就没有欣赏到。相反如果要欣赏这些美，需要数学的剖析，数学思想的揭示和和数学意境的营造。这就要求我们通过学习不断提高学科素养，通过不断的观察和思考，充分挖掘教材中可欣赏的部分，研究问题中值得欣赏的元素。只有这样才能教会学生用欣赏的眼光来看数学，让数学之美处处绽放。

参考书目：

任伟芳《直角坐标系:源于定位,高于定位》 中学数学教学参考：上半月高中2011年12期  CN：61-1032/G4