顺应理解，整体架构

——以苏科版“一次函数”单元教学设计为例

215400 太仓市第一中学 张万洁

[摘要]单元教学设计是数学教学设计的一种有效的方法，单元教学设计从整体出发，统揽全局，能够突出数学内容的主线和知识间的关联性，帮助学生协同思考、形成整体认知，促进学生更好地理解数学.本文以“一次函数”单元为例，开展数学单元教学设计，可以促进教学质量的提升，有利于教学目标的实现，有利于学生对知识的整体把握.

[关键字]理解数学；理解学生；理解教学；一次函数；单元教学

当前，初中课堂教学的模式还是以教师按照教材内容分课时讲授为主，以课时为单位进行教学设计容易将教学内容碎片化，课与课之间关联度不高，学生获得的数学知识和方法不能系统化，在解决问题过程中容易产生思维断裂，不利于学生对数学学科知识形成整体认知，对学生数学能力和数学素养的提升帮助不大.而单元教学设计是现阶段落实核心素养的可行策略.单元教学设计尝试将本质相同或有内在关联的内容作为一个单元进行设计，突出知识体系的逻辑性和整体性，保证了一段时间内教学的连续性，在一定程度上有利于学生数学能力和数学素养的培养.章建跃教授提出了“三个理解”：理解数学、理解学生、理解教学，为单元整体教学设计提供了方向性的依据.

本文以苏科版教材八年级上册第六章“一次函数”单元为例，就单元教学设计的做法和思考与大家进行探讨.

1.提出问题，整体架构

在单元教学的过程中，进行教材分析是教学设计的重要环节，要求教师能够以整体的视角去审视教材、处理教材.教师应在原有教材的编排上，针对同一主题进行筛选、分析、整合教学内容，按照逻辑主线重构知识体系，从数学知识的本质和深刻理解出发设计教学方案，重组和优化教学内容和结构，更好地体现数学知识与核心素养之间的对应关系.

1.1规划解读，梳理难点

全章围绕一次函数展开，首先从生活实例引入，在引导学生揭示其中的变化规律和对应关系的基础上，归纳和抽象函数和一次函数的概念，引导学生建立一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的内在联系，主动构建认知结构，从中感受数形结合的思想，感悟引入并研究一次函数是数学知识和方法的自然延伸.“一次函数”单元知识结构如图1所示.

（图1）

1.2剖析内容，完善结构

函数知识贯穿整个中学数学的教学过程，集中体现了符号思想、模型思想、几何直观、应用意识，与代数式、方程、不等式等知识存在着内在的一条主线.七年级上册“3.1用字母表示数”接触了函数表达式的雏形，“3.3求代数式的值”感受到了代数式的值随着字母取值的变化而变化，七年级下册“二元一次方程”一章中，未知数x、y满足方程，能用含x的代数式表示y或用含y的代数式表示x，进一步接触函数表达式.我们在函数教学后，又会学习各种特殊函数.函数统领着代数式、方程、不等式（如图2所示）.

（图2）

1.3目标定位，思维教学

本单元教学目标如下：

（1）探索实际问题中的数量关系和变化规律，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化和对应”的思想；结合实例，了解函数的三种表示法（解析式法、列表法、图象法），能结合图象分析简单的函数关系，发展数学抽象等核心素养.

（2）理解一次函数的概念，会用待定系数法确定一次函数的表达式，能画出一次函数的图象，能根据一次函数的图象和表达式（数形结合的思想）理解函数的性质.

（3）经历“把实际问题抽象为函数”的过程，应用函数概念和各种函数性质解决具体问题，感受函数模型思想的重要意义，学会运用函数思想，站在新的高度和角度审视和反思问题，利用函数思想认识和刻画客观世界中的运动变化特征，提升数学建模等核心素养.

（4）建立函数与方程和不等式、转化与化归、分类讨论及数形结合思想方法之间的联系，建构和发展相互联系的知识体系.

上述目标的关键是使学生经历建立函数的数学模型并应用其解决实际问题的过程，学会运用函数思想更好地描述现实世界的规律，从而体会独立思考和合作探究的乐趣，提升数学抽象和数学建模的核心素养.

2.单元结构，纵横联系

2.1课时安排，科学精准

2.2整体分析，整体思维

初中生的抽象思维还没有完全形成，对抽象的数学知识仍留有表面，似懂非懂,学生对数学建模的运用也是存在困难，不会把实际问题转化为数学问题. 教师应在原有教学方法的基础上进行优化和创新，把握学生现有认知水平以及可能出现的思维障碍，并及时干预，推动学生学习活动的积极开展.

开展单元教学设计，关注的是学生的学，真正地了解学生的认知特点，掌握学生的实际需要.教学过程中，学生在兴趣和积极状态的共同作用下进行有效学习、深度学习.同时,还要从关注学生整体转向关注每个学生，要求教师了解每个学生的想法，进行适时引导、开展合作交流，促进学生间的思维碰撞.

3.核心问题，纵深思考

3.1揭示本质，单值对应

[教学片断]

情境1：播放苏炳添奥运会百米飞人决赛的视频（通过创设真实情境激发学生的兴趣）

问题1：说一说，在百米赛跑中存在哪些常量和变量？

问题2：苏炳添的此次百米飞人决赛的成绩是9’83”,那么他的速度是多少？同学们这个星期体育课也进行了百米测试，你们也有百米测试的成绩，你能计算你的速度吗？

问题3：在百米测试中，当时间t确定时，速度v是否确定，唯一确定吗？

情境2：以下是百米测试的得分表

问题4：同学们，对照表格，你的百米测试得分是多少？

问题5：表格中有几个变量？当时间t确定时，得分d是否确定，唯一确定吗？请举例说明.

情境3：下图是百米测试那天的气温变化图

（图3）

问题6：在这个变化过程中，有几个变量？当时间t确定时，温度T是否确定，唯一确定吗？

问题7：这三个情境，虽然表现形式不同，但是有什么共同特征吗？

问题8：以上三种情境是函数的三种表示形式，有什么不同，各有什么优点？

[教学建议]在学习特殊函数概念时，完全脱离函数概念，直接由多个解析式归纳共同点来进行函数教学，只重视解析式表示的函数形式，导致学生对函数概念的理解不够透彻，后续学习又很少提及，学生会逐渐遗忘.函数概念及其思想应该渗透在函数内容学习的每一个过程中，潜移默化地构建函数思想.

3.2画图探究，细化过程

 [教学片断]

问题1：上节课我们已经学习了一次函数，那么你们知道一次函数的图象是什么吗？

问题2：怎样画一次函数的图象？你是怎么想的？说说你的想法.

问题3：再次尝试画一次函数的图象，你有什么新发现？

问题4：满足一次函数表达式的有序数对为坐标的点是否在直线上，反过来，直线上的任意一点的坐标是否满足函数表达式？

【教学建议】教师要引导学生思考如何取值，取多少个点，为了描点更加有序，建议列表，按照从小到大的顺序取代表值，然后按从小到大连线得到图象，再观察图象发现是一条直线，最后利用几何画板对一次函数的图象是直线的猜想进行操作验证,还可以发现这两条直线之间的位置关系.当然很多时候我们到这儿就止步了,应继续追问,满足一次函数表达式的有序数对为坐标的点是否在直线上，反过来，直线上的任意一点的坐标是否满足函数表达式，让学生感受函数图象的完备性和纯粹性.

3.3数形结合，变换图像

[教学片断]

问题1：我们已经通过画图、观察、归纳得到“对于直线，，若，则两直线平行”.那么我们如何验证呢？

学生通过思考、合作探究，能对特殊的一次函数进行证明，证明如下：

（图4）

如图4 ，易知在上有两个特殊点A(0,4),B(-2,0),在取纵坐标也是4的点C(2,4),在向轴作垂线段交于点D,易证,从而得到,然后再引导学生推广到一般形式，也同样成立.

教师及时总结，在这个证明过程中，我们通过两个特殊点的位置的平移，得到了新的函数,

接下来我们研究一次函数图象的翻折和旋转.

问题2：把一次函数沿轴翻折后，求所得图象对应的函数表达式.

问题3：把一次函数与轴交于点A，把直线绕点A顺时针旋转，求所得图象对应的函数表达式.

问题4：把一次函数与轴交于点A，把直线绕点A顺时针旋转，求所得图象对应的函数表达式.

【教学建议】在教学时，如果只是让学生从画图中获得猜想，而没有后面的推理论证，那么对于学生严密的逻辑性培养是不利的，学生只知其然，而不知其所以然.图象变换的本质是点的变换，一次函数的图象是一条直线，在后续解题时我们只需抓住特殊点的位置变化，就可以得到新的函数表达式.利用“数形结合”研究函数的性质，就是要充分运用解析式和图象来解决问题，这也是研究函数问题的基本思路.

3.4建构模型，渗透素养

 [教学片断]

问题1：根据图5中的函数图像，说出的实际意义.

（图5）

学生通过思考、合作探究，能发现是一个分段函数并能把函数表达式写出来，也能赋予其实际意义.

问题2：如果爸爸2分钟后以100m/min的速度步行出发去追他，几分钟后能追上小明？（也可以让学生提出类似的问题，并用函数方法解决）

【教学建议】怎样让学生经历一次函数模型的建立过程？本教学片断给出图象，自行赋予函数实际意义，以“行程问题”等情境让学生理解题意、尝试建立、解决问题的过程，体验函数建模的完整过程.在函数教学中，通过对模型思想的合理应用，有助于学生形成良好的思维能力，培育数学核心素养.

3.5 明晰路径，构建体系

[教学片断]

编题1：已知一次函数的表达式是.至少提出一个与此一次函数相关的问题.

编题2：一辆汽车从甲地出发驶向乙地，汽车以60千米每小时的速度行驶了小时，试根据上述情境提出问题，并用一次函数相关知识求解.

【教学建议】编题属于开放性作业，学生在编题的过程中，需要把各种相关知识重新组织、整理，能有效巩固和拓展学生所学知识，提升学生对所学知识的理解和认识，同时还能拓展学生思考问题的维度，强化知识间的内在联系，有利于培养学生的创造思维，从而帮助学生完成一次函数知识体系的构建.

总之，数学单元整体设计的问题要注重层次性、探究性、开放性、应用性、质疑性等特性，充分体现学生的主体作用，唤醒学生问题意识，以问题渗透，启发深度思维，开展深度学习.

参考文献：

【1】   潘小梅.初中数学教学研究入门36问.浙江大学出版社，2021.

【2】   吴立宝.中学数学教学设计.清华大学出版社， 2021.

【3】   斯海霞 叶立军.大概念视角下的初中数学单元整体教学设计——以函数为例.数学通报，2021（7）.

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